Radie, diameter och kvadratens diagonaler (inskriven kvadrat i cirkel)

Lär dig koppla ihop cirkelns radie med sträckor till randpunkter och använda att diagonalerna i en kvadrat är lika långa för att jämföra längder.

Idén

Många KVA-uppgifter i geometri bygger på att du snabbt kan identifiera vilka sträckor som är radier i en cirkel och vilka sträckor som är diagonaler i en kvadrat.

Två centrala fakta:

Radie i en cirkel

Om $O$ är cirkelns medelpunkt och $X$ ligger på cirkeln, så är $OX$ en radie. Alla radier i samma cirkel är lika långa.

Diagonaler i en kvadrat

En kvadrat har två diagonaler (mellan motstående hörn), och de är:

lika långa
skär varandra i mitten

Det betyder att om du kan visa att två sträckor båda är radier, eller båda är kvadratens diagonaler, kan du direkt jämföra dem.

När använder man detta?

När en figur är inskriven i en cirkel (hörn på cirkeln) eller när en punkt är markerad som medelpunkt.
I KVA-frågor där du ska jämföra en sträcka från medelpunkten (troligen en radie) med en annan sträcka i en polygon (t.ex. en diagonal).

Viktiga kopplingar (bra att känna igen)

Om en punkt $D$ är medelpunkt och $P$ ligger på cirkeln, då är $DP$ en radie.
Om en kvadrat $ABCD$ har diagonalerna $AC$ och $BD$ , då gäller $AC = BD$ .

Ibland råkar också en diagonal gå från medelpunkten till ett hörn – då kan den diagonalen samtidigt vara en radie (som i uppgiften).

Vanliga misstag

Att tro att "inskriven" automatiskt betyder att alla sidor är radier (det är fel). Bara sträckor från medelpunkten till cirkeln är radier.
Att blanda ihop sida och diagonal i kvadraten: diagonalerna är $AC$ och $BD$ , inte $AB$ , $BC$ osv.
Att börja räkna med Pythagoras i onödan; ofta räcker rena likhetsargument.

Formler att kunna

Radie: Om $O$ är medelpunkt och $X$ ligger på cirkeln, så är $OX = r$ .
Alla radier i samma cirkel är lika: $OX = OY$ (om $X$ och $Y$ ligger på cirkeln).
Kvadratens diagonaler är lika: $AC = BD$ .

Tips och fallgropar

Leta först efter ordet medelpunkt: då kan du ofta identifiera radier direkt.
Markera vilka punkter som ligger på cirkeln: varje sträcka från medelpunkten till en sådan punkt är en radie.
I en kvadrat: skriv direkt upp att diagonalerna $AC$ och $BD$ är lika, innan du gör något annat.
I KVA: försök jämföra via en "mellansträcka" (t.ex. visa $DP = DB$ och $DB = AC$ ).

Löst exempel

KVA: radie jämförs med kvadratens diagonal

Kvadraten $ABCD$ är inritad i en cirkel. Punkten $D$ är cirkelns medelpunkt. Punkterna $B$ och $P$ ligger på cirkeln.

Kvantitet I: $DP$

Kvantitet II: $AC$

A. I är större än II

B. II är större än I

C. I är lika med II

D. Informationen är otillräcklig

Identifiera radien med hjälp av medelpunkten

Eftersom $D$ är cirkelns medelpunkt och $P$ ligger på cirkeln är $DP$ en radie.

Alltså är $DP = r$ .

Hitta ytterligare en radie i figuren

Punkten $B$ ligger också på cirkeln, så $DB$ går från medelpunkten till cirkeln.

Alltså är $DB$ också en radie och $DB = r$ .

Jämför radierna

Alla radier i samma cirkel är lika långa, därför gäller

DP = DB.

Knyt ihop med kvadratens diagonaler

I kvadraten $ABCD$ är $AC$ och $BD$ diagonaler.

Diagonaler i en kvadrat är lika långa, alltså

AC = BD.

Sätt ihop kedjan

Från steg 3 och 4 får vi

DP = DB = BD = AC.

Alltså är kvantitet I lika med kvantitet II.

Svar:

C. $DP$ är lika med $AC$ .

Öva geometri på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis