Primtal och primtalsprövning (testa delbarhet)

Lär dig vad ett primtal är och hur du snabbt avgör om ett tal är primtal genom att testa delbarhet med primtal upp till roten ur talet.

Vad är ett primtal?

Ett primtal är ett heltal större än 1 som har exakt två positiva delare: $1$ och talet självt.

$2, 3, 5, 7, 11, \dots$ är primtal.
Tal som har fler delare (t.ex. $12$ , som är delbart med $2, 3, 4, 6$ ) kallas sammansatta tal.

Kärnidé: Primtalsprövning med delbarhet

För att avgöra om ett tal $n$ är ett primtal räcker det att testa om $n$ är delbart med något primtal $p$ som uppfyller

p \leq \sqrt{n}.

Varför räcker det med $\sqrt{n}$ ?

Om $n$ är sammansatt kan man skriva $n = a \cdot b$ där $1 < a \leq b < n$ . Då gäller att minst en av faktorerna måste vara $\leq \sqrt{n}$ . Om båda vore större än $\sqrt{n}$ skulle produkten bli större än $n$ .

Alltså: hittar du ingen delare upp till $\sqrt{n}$ är $n$ ett primtal.

Snabba delbarhetsregler (bra på högskoleprovet)

När du kontrollerar tal i ett intervall kan du snabbt sortera bort många:

Delbar med $2$ : jämnt tal.
Delbar med $3$ : siffersumman är delbar med $3$ .
Delbar med $5$ : slutar på $0$ eller $5$ .
Delbar med $7$ , $11$ etc.: testa vid behov, men ofta räcker $2, 3, 5, 7$ för tal runt $50$ .

När används detta?

När du ska räkna primtal i ett intervall.
När du ska avgöra om ett visst tal är ett primtal.
Som delsteg i problem om faktorisering och delbarhet.

Formler att kunna

Primtalsprövning: testa primtal $p$ där $p \leq \sqrt{n}$ .
Om $n = a \cdot b$ och $a, b > 1$ så är minst en av $a$ eller $b$ $\leq \sqrt{n}$ .

Tips och fallgropar

Glöm inte att $1$ inte är ett primtal.
Testa alltid $2$ , $3$ och $5$ först – de fångar de flesta sammansatta tal snabbt.
När du räknar primtal i ett intervall: börja med att stryka alla jämna tal och alla som slutar på $5$ (förutom $5$ självt).
För tal runt $50$ räcker det ofta att testa delbarhet med $2, 3, 5, 7$ , eftersom $\sqrt{50} \approx 7{,}1$ .

Löst exempel

Primtal mellan 40 och 50

Hur många primtal finns det mellan 40 och 50?

Lista kandidaterna och sortera bort uppenbara icke-primtal

Talen mellan 40 och 50 är $41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49$ .

Jämna tal (delbara med $2$ ) kan inte vara primtal: $42, 44, 46, 48$ stryks.
Tal som slutar på $5$ är delbara med $5$ : $45$ stryks.

Kvar att testa: $41, 43, 47, 49$ .

Använd $$-regeln för att veta vad du behöver testa

För tal runt $50$ gäller

\sqrt{50} \approx 7{,}1.

Det betyder att det räcker att testa delbarhet med primtalen $2, 3, 5, 7$ .

Testa $41$

Inte jämnt $\Rightarrow$ inte delbart med $2$ .
Siffersumma $4 + 1 = 5$ (inte delbar med $3$ ) $\Rightarrow$ inte delbart med $3$ .
Slutar inte på $0$ eller $5$ $\Rightarrow$ inte delbart med $5$ .
$41$ är inte delbart med $7$ ( $7 \cdot 5 = 35$ , $7 \cdot 6 = 42$ ) $\Rightarrow$ ingen divisor upp till $\sqrt{41}$ .

Alltså är $41$ ett primtal.

Testa $43$

Inte delbart med $2$ , $3$ (siffersumma $4 + 3 = 7$ ) eller $5$ .
Inte delbart med $7$ ( $7 \cdot 6 = 42$ , $7 \cdot 7 = 49$ ).

Alltså är $43$ ett primtal.

Testa $47$

Inte delbart med $2$ , $3$ (siffersumma $4 + 7 = 11$ ) eller $5$ .
Inte delbart med $7$ ( $7 \cdot 6 = 42$ , $7 \cdot 7 = 49$ ).

Alltså är $47$ ett primtal.

Testa $49$

$49$ är delbart med $7$ eftersom

49 = 7 \cdot 7.

Då är det sammansatt och inte ett primtal.

Räkna primtalen

Primtalen är $41, 43, 47$ . Det är $3$ stycken.

Svar:

Det finns $3$ primtal mellan 40 och 50.

Öva aritmetik på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis