Medelvärde (aritmetiskt medel) – särskilt med bråk och negativa tal

Medelvärde av två tal fås genom att addera talen och dela summan med 2, vilket ofta kräver att man hanterar bråk med gemensam nämnare och tecken.

Vad betyder medelvärde?

Medelvärdet (aritmetiskt medel) av några tal är en slags balanspunkt: om du tänker dig talen som vikter på en tallinje ligger medelvärdet mitt emellan dem (för två tal).

För två tal $a$ och $b$ är medelvärdet

\text{medelvärde} = \frac{a+b}{2}.

När används detta på högskoleprovet?

På högskoleprovet testas ofta om du:

kommer ihåg grundformeln $\frac{a+b}{2}$
kan addera bråk korrekt (hitta gemensam nämnare)
hanterar negativa tal (minustecken)

Viktigt vid bråk

För att addera bråk behöver du samma nämnare:

\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+rq}{qs}.

Ofta är det smartare att hitta minsta gemensamma nämnare (MGN) i stället för att multiplicera rakt av.

Negativa tal i bråk

Ett minustecken kan skrivas på flera likvärdiga sätt:

-\frac{3}{4} = \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4}.

När du adderar $\frac{7}{8} + \left(-\frac{3}{4}\right)$ är det alltså samma sak som $\frac{7}{8} - \frac{3}{4}$ .

Tolkningstips: ”mittpunkten”

För två tal är medelvärdet exakt mitt emellan. Det kan hjälpa dig att rimlighetskolla:

$\frac{7}{8} \approx 0{,}875$
$-\frac{3}{4} = -0{,}75$

Mitt emellan borde bli en liten positiv siffra nära $0{,}06$ , vilket stämmer med $\frac{1}{16} = 0{,}0625$ .

Formler att kunna

Medelvärde av två tal: $\frac{a+b}{2}$
Addera bråk: $\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps+rq}{qs}$
Subtraktion som addition: $a-b = a+(-b)$

Tips och fallgropar

Glöm inte parenteser vid negativa tal: $a+(-b)$ betyder minus.
Hitta gemensam nämnare först: till exempel $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ om du redan har åttondelar.
Dela med 2 på ett smart sätt: $\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot x$ . För bråk blir det ofta $\frac{1}{2} \cdot \frac{p}{q} = \frac{p}{2q}$ .
Rimlighetskolla med decimaler: särskilt när svarsalternativen är bråk som ser lika ut.

Löst exempel

Medelvärde av två bråk med olika tecken

Vad är medelvärdet av $\frac{7}{8}$ och $-\frac{3}{4}$ ?

Skriv upp formeln för medelvärdet av två tal.

Medelvärdet av $a$ och $b$ är $\frac{a+b}{2}$ . Här är $a=\frac{7}{8}$ och $b=-\frac{3}{4}$ :

\text{Medelvärde}=\frac{\frac{7}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)}{2}.

Gör om addition med ett negativt tal till subtraktion.

$\frac{7}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)$ är samma som $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}$ :

\text{Medelvärde}=\frac{\frac{7}{8}-\frac{3}{4}}{2}.

Addera/subtrahera bråken genom att få samma nämnare.

Nämnarna är 8 och 4. Eftersom $4$ delar $8$ är det smart att skriva $\frac{3}{4}$ i åttondelar:

\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}.

Då blir differensen

\frac{7}{8}-\frac{6}{8}=\frac{1}{8}.

Dela resultatet med 2 (det är själva medelvärdet).

Nu har vi

\text{Medelvärde}=\frac{\frac{1}{8}}{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{16}.

Vi multiplicerar med $\frac{1}{2}$ eftersom att dela med 2 är samma sak som att multiplicera med $\frac{1}{2}$ .

Svar:

$\frac{1}{16}$

Öva aritmetik på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis