Direkt proportionalitet och proportionalitetssamband (korsmultiplikation)

Vad betyder direkt proportionalitet?

Två storheter är direkt proportionella om de växer (eller minskar) i samma takt. Om körsträckan ökar med en viss faktor, ökar också den förbrukade bensinen med samma faktor.

Det kan skrivas som

$$L = k \cdot d$$

(där $L$ är liter, $d$ är sträcka i km och $k$ är en konstant).

I bensinexemplet är $k$ liter per kilometer:

$$k = \frac{L}{d}$$

Om bilen drar lika mycket per km hela tiden är $\frac{L}{d}$ konstant.

---

Proportion (två lika kvoter)

Eftersom $\frac{L}{d}$ är konstant kan du alltid skriva

$$\frac{L_1}{d_1} = \frac{L_2}{d_2}$$

Detta kallas att ställa upp en proportion.

Ett vanligt alternativ är att jämföra $\frac{d}{L}$ i stället (km per liter). Det går också bra, så länge du är konsekvent:

$$\frac{d_1}{L_1} = \frac{d_2}{L_2}$$

---

Korsmultiplikation (hur man löser proportioner)

Om du har

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

kan du multiplicera korsvis:

$$a \cdot d = b \cdot c$$

Detta är ett snabbt sätt att lösa för en okänd variabel i en proportionalitet.

---

När använder man detta på HP?

Direkt proportionalitet dyker ofta upp i problem om:

• bensinförbrukning, hastighet–tid–sträcka
• recept (skala ingredienser)
• valutaomvandling
• pris per kg/liter och totalpris

Nyckeln är att leta efter en konstant per enhet, till exempel ”liter per km”, ”kr per kg”, ”km per timme”.

---

Vanliga misstag

• Vända en kvot av misstag. Om du startar med $\frac{19}{350}$ (liter per km) måste du fortsätta med $\frac{L}{1710}$, inte $\frac{1710}{L}$.
• Blanda enheter. Se till att båda sträckorna är i km och båda mängderna i liter.
• Sätta fel storhet överst. Gör gärna en enhetskontroll: $\frac{\text{liter}}{\text{km}}$ ska vara samma på båda sidor.