Kedjeolikheter och transitivitet (att jämföra tal i ordning)

Idén

I många KVA-uppgifter på Högskoleprovet får du flera olikheter (t.ex. $a < b$, $b < c$) och ska avgöra hur två uttryck förhåller sig. Kärnan är transitivitet:

• Om $a < b$ och $b < c$, så gäller $a < c$.

Detta låter dig koppla ihop informationen till en kedjeolikhet där talen hamnar i en bestämd ordning.

Transitivitet och kedjor

Transitivitet gäller för både $<$ och $>$:

• $a < b$ och $b < c$ $ightarrow$ $a < c$
• $a > b$ och $b > c$ $ightarrow$ $a > c$

När du har flera villkor kan du ofta bygga en lång kedja som

$$a < \dots < b < \dots < c$$

Viktigt: du måste kunna "matcha" en gemensam variabel

Du kan bara koppla två olikheter direkt om de delar ett led. Exempel:

• $m < y$ och $y < z$ kan kopplas (gemensamt led $y$).
• $m < y$ och $z < n$ kan inte kopplas direkt utan extra information om $y$ och $z$.

Hur det används i KVA (kvantitativa jämförelser)

Målet är att avgöra om Kvantitet I alltid är

• större,
• mindre,
• lika med,
• eller om det kan variera (då blir svaret "informationen är otillräcklig").

Strategin är ofta:

1. Skriv om givna villkor som korta olikheter.
2. Leta efter en väg att koppla dem till en kedja.
3. Läs av relationen mellan de två kvantiteterna.

Vanliga fallgropar

• Att blanda riktningar: om du har $a < b$ och $b > c$ får du ingen kedja utan att först omformulera.
• Att anta mer än vad som står: från $x < m < y$ vet du inget om $x$ jämfört med $z$ om inte $y$ och $z$ kopplar ihop dem.
• Att tro att "mellan" betyder mittpunkt: $x < m < y$ betyder bara att $m$ ligger någonstans mellan $x$ och $y$.