Andelar och procent som ekvation (fördela en helhet)

Lär dig översätta andelar/procent av en helhet till uttryck och ekvationer för att kunna bestämma totalen eller delarna.

Idén

Många HP-uppgifter (särskilt NOG) handlar om att en helhet är uppdelad i delar, där delarna ges som andelar (t.ex. $\frac{1}{8}$ ) eller procent (t.ex. $25\%$ ). Kärnan är att:

välja en variabel för totalen (t.ex. $T$ )
uttrycka varje del som en andel av $T$
använda att summan av alla delar = totalen

Det blir nästan alltid en linjär ekvation i $T$ .

Steg 1: Sätt en variabel för helheten

Låt $T$ vara det totala antalet objekt (djur, elever, kronor etc.).

Detta är ofta det smartaste i procent-/andelproblem, eftersom alla andelar då blir enkla uttryck i $T$ .

Steg 2: Översätt procent och bråk

Procent till andel

$p\%$ betyder $\frac{p}{100}$ av helheten.

Exempel:

$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
$12{,}5\% = 0{,}125 = \frac{1}{8}$

$\frac{1}{8}$ av alla

Om $\frac{1}{8}$ av djuren är grisar, så är antalet grisar $\frac{T}{8}$ .

Steg 3: Bygg ekvationen ”delar summerar till helheten”

Om helheten består av tre kategorier (t.ex. grisar, höns, får) och du kan skriva varje kategori i termer av $T$ , då gäller:

\text{grisar} + \text{höns} + \text{får} = T

Detta är den centrala modellen.

Steg 4: Rimlighetskrav (heltal)

Eftersom antal objekt är heltal måste varje del bli ett heltal.

Om grisar $= \frac{T}{8}$ , måste $T$ vara delbart med $8$ .
Om höns $= \frac{T}{4}$ , måste $T$ vara delbart med $4$ .

Detta kan ibland räcka för att avgöra om ett påstående i NOG är tillräckligt eller inte.

Koppling till NOG (räcker informationen?)

I NOG-frågor testar man ofta om du får:

en unik lösning på $T$ (då räcker informationen)
flera möjliga $T$ (då räcker den inte)

Typiskt:

Ett enda procentvillkor ger ofta oändligt många totalsummor.
Två oberoende villkor kan tillsammans ge en unik total.

Vanliga misstag

Att blanda ihop procent och antal: $25\%$ är inte 25 djur.
Att glömma att delarna ska summera till helheten.
Att missa heltalskravet (t.ex. att $\frac{T}{8}$ måste bli ett heltal).
I NOG: att hitta en lösning och tro att den är unik, utan att kontrollera om fler totalsummor fungerar.

Formler att kunna

Procent till bråk: $p\% = \frac{p}{100}$
Del av helhet: del $= \text{andel} \cdot T$
Uppdelning av helhet: del $_1$ + del $_2$ + $\cdots$ $= T$

Tips och fallgropar

Börja nästan alltid med $T$ som totalen. Det gör procent och andelar enkla.
Skriv om procent till bråk tidigt (t.ex. $25\% = \frac{1}{4}$ ).
Kontrollera om villkoren kräver att $T$ är delbart med något (t.ex. 8 eller 4).
I NOG: testa om ett påstående ensamt kan ge flera möjliga $T$ . Om ja, är det otillräckligt.

Löst exempel

Grisar, höns och får (andelar av totalen)

I en ladugård finns enbart grisar, höns och får. Hur många djur finns i ladugården?

(1) Det finns fem får i ladugården och $\frac{1}{8}$ av djuren i ladugården är grisar.

(2) $25\%$ av djuren i ladugården är höns.

Sätt en variabel för totalen.

Låt $T$ vara det totala antalet djur i ladugården.

Översätt varje påstående till uttryck i $T$ .

Från (1):

Antal får = $5$ .
Antal grisar = $\frac{1}{8}$ av $T$ , alltså $\frac{T}{8}$ .

Från (2):

$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ , alltså är antalet höns $\frac{T}{4}$ .

Använd att delarna summerar till helheten.

Eftersom det bara finns grisar, höns och får gäller:

\frac{T}{8} + \frac{T}{4} + 5 = T

Lös ekvationen (samla $T$ -termer).

Gemensam nämnare för bråken:

$\frac{T}{4} = \frac{2T}{8}$ . Då blir

\frac{T}{8} + \frac{2T}{8} + 5 = T

\frac{3T}{8} + 5 = T

Subtrahera $\frac{3T}{8}$ från båda sidor:

5 = T - \frac{3T}{8} = \frac{8T}{8} - \frac{3T}{8} = \frac{5T}{8}

Multiplicera med $\frac{8}{5}$ :

T = 8

Tolka i NOG-termer (räcker informationen?).

(1) ensam: $\frac{T}{8} + 5 +$ (antal höns) $= T$ , men antalet höns är okänt $\rightarrow$ flera möjliga $T$ $\rightarrow$ otillräckligt.
(2) ensam: säger bara att hönsen är $\frac{T}{4}$ , men inget om får eller grisar $\rightarrow$ flera möjliga $T$ $\rightarrow$ otillräckligt.
Tillsammans ger de en ekvation som ger ett unikt $T$ $\rightarrow$ tillräckligt tillsammans.

Svar:

Båda påståendena behövs, och det totala antalet djur är $T = 8$ . Rätt svar i NOG är C.

Öva algebra på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis