Inklusions–exklusionsprincipen (två mängder)

Vad handlar konceptet om?

När man räknar andelar eller antal i två grupper (två mängder) händer det ofta att vissa personer eller objekt tillhör båda grupperna. Om man då bara adderar andelarna riskerar man att dubbelräkna dem som är med i båda.

Exempel: Om $47\%$ kan tyska och $43\%$ kan franska kan man inte säga att $47\% + 43\% = 90\%$ kan minst ett språk, eftersom de som kan båda språken då räknas två gånger.

Det är precis detta som inklusion–exklusionsprincipen löser.

---

Mängdtänk (Venn-diagram i ord)

Låt

• $T$ = mängden som kan tyska
• $F$ = mängden som kan franska

Då betyder:

• $T \cup F$: kan minst ett av språken (tyska eller franska eller båda)
• $T \cap F$: kan båda språken
• $(T \cup F)^c$: kan varken tyska eller franska

Andelen som kan minst ett språk är alltså:

$$P(T \cup F) = 1 - P(\text{varken}).$$

---

Själva principen (två mängder)

För två mängder gäller:

$$P(T \cup F) = P(T) + P(F) - P(T \cap F).$$

Tolkning:

• $P(T) + P(F)$ inkluderar alla som kan tyska och alla som kan franska.
• Men de som kan båda hamnar i båda grupperna och räknas därför två gånger.
• Därför exkluderar man överlappet en gång genom att subtrahera $P(T \cap F)$.

Ofta vill man lösa ut överlappet:

$$P(T \cap F) = P(T) + P(F) - P(T \cup F).$$

---

När används detta på HP?

Vanligt i uppgifter om:

• språk, kurser och behörigheter
• medlemskap i föreningar
• ”gillar A”, ”gillar B”
• sannolikhet och andelar där man får information om varken eller minst en

Nyckeln är att identifiera:

1. andelen i varje grupp var för sig
2. andelen som är i minst en ($\cup$) eller i varken (komplement)
3. att man söker överlappet ($\cap$)

---

Vanliga fallgropar

• Att addera $P(T) + P(F)$ och tro att det ger andelen som kan minst ett.
• Att glömma att ”varken” är komplementet till ”minst ett”: $P(T \cup F) = 1 - P(\text{varken})$.
• Att blanda ihop $\cup$ (minst ett) och $\cap$ (båda).