Informationsotillräcklighet och motexempel i kvantitativa jämförelser

Lär dig avgöra när en kvantitativ jämförelse inte kan bestämmas genom att testa flera möjliga fall och hitta motexempel.

Idén bakom KVA-uppgifter

I KVA (kvantitativa jämförelser) ska du avgöra relationen mellan Kvantitet I och Kvantitet II. Ofta räcker det inte att bara räkna, utan du måste analysera vilken information som faktiskt är given.

Ett centralt verktyg är motexempel:

Om du kan hitta ett exempel där I > II och ett annat exempel där II > I (eller där I = II), då kan relationen inte bestämmas entydigt.
Då är svaret D: informationen är otillräcklig.

Varför positiva tal spelar roll (men inte räcker)

I uppgiften sägs att summan av $n$ positiva tal är lika med summan av $m$ positiva tal.

Låt summan vara $S$ , där $S > 0$ . Då gäller att det finns positiva tal $a_1, \, \dots, \, a_n$ och $b_1, \, \dots, \, b_m$ sådana att

\sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{j=1}^{m} b_j = S.

Viktigt: För en given summa $S$ kan man dela upp $S$ i olika många positiva delar.

Du kan alltid skriva $S$ som en term: $S$ .
Du kan också skriva $S$ som två positiva termer: $\frac{S}{2} + \frac{S}{2}$ .
Eller som flera positiva termer: $\frac{S}{k} + \cdots + \frac{S}{k}$ (totalt $k$ gånger).

Det betyder att samma summa inte bestämmer hur många positiva tal som ingår. Därför kan $n$ vara större än, mindre än eller lika med $m$ .

När använder man detta på högskoleprovet?

Använd motexempelmetoden när:

Du jämför två storheter men får bara en relation (t.ex. ”summorna är lika”, ”produkten är konstant”, ”medelvärdena är lika”).
Du misstänker att flera olika situationer kan uppfylla villkoret.

Standardstrategi för KVA med okänt antal eller okända värden

Översätt texten till ett matematiskt villkor.
Fråga: Kan villkoret ge bara en relation mellan I och II?
Testa minst två olika uppsättningar tal som uppfyller villkoret.
Om relationen mellan I och II ändras mellan exemplen → D.

Formler att kunna

Om $S > 0$ kan $S$ skrivas som $S = \underbrace{\frac{S}{k} + \frac{S}{k} + \cdots + \frac{S}{k}}_{k\text{ positiva termer}}$ för valfritt heltal $k \ge 1$ .
Motexempelprincipen: Om både $I > II$ och $I < II$ är möjliga under givna villkor $\Rightarrow$ svaret är D.

Tips och fallgropar

För att få svaret D räcker det inte att du ”inte ser hur” man bestämmer relationen — du bör kunna visa två olika giltiga fall som ger olika jämförelser.
Kom ihåg att ”positiva tal” betyder $> 0$ , så $0$ är inte tillåtet.
Blanda inte ihop ”samma summa” med ”samma antal termer”. En summa säger inget om hur många addender som används.
I KVA: undvik att anta att talen är heltal om det inte står. Här står bara positiva tal (de kan vara reella tal).

Löst exempel

Samma summa kan ha olika antal positiva termer

Summan av $n$ positiva tal är lika med summan av $m$ positiva tal.

Kvantitet I: $n$

Kvantitet II: $m$

Vilket alternativ är korrekt?

Tolka villkoret.

Vi vet bara att två summor är lika stora, säg $S$ :

$a_1 + \dots + a_n = S \quad \text{och} \quad b_1 + \dots + b_m = S,$

där alla $a_i > 0$ och $b_j > 0$ .

Testa om $n$ måste vara lika med $m$ .

Det finns inget i villkoret som säger att termerna är lika stora eller att antalet termer måste vara samma. Därför provar vi exempel.

Bygg ett exempel där $n < m$ .

Välj $S = 10$ .

Låt $n = 1$ : $10$ .

Låt $m = 2$ : $5 + 5$ .

Då är summorna lika ( $10 = 5 + 5$ ) och vi får $n < m$ .

Bygg ett exempel där $n > m$ .

Samma $S = 10$ .

Låt $n = 5$ : $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ .

Låt $m = 2$ : $5 + 5$ .

Då är summorna lika, men nu är $n > m$ .

Slutsats med motexempel.

Eftersom både $n < m$ och $n > m$ är möjliga kan vi inte avgöra relationen mellan $n$ och $m$ entydigt.

Svar:

D. Informationen är otillräcklig.

Öva logik på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis