Algebraiska bråk: dela upp täljaren och förkorta (bråkräkning med variabler)

Lär dig skriva om algebraiska bråk genom att dela upp täljaren över samma nämnare och sedan förkorta gemensamma faktorer.

När du har ett algebraiskt bråk (ett bråk med variabler) behöver du ofta skriva om uttrycket till en enklare form. En mycket vanlig teknik är att använda distributiva lagen i omvänd riktning:

\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}

Detta fungerar eftersom division med samma nämnare kan ses som en faktor:

\frac{a-b}{c} = \frac{1}{c}(a-b) = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}

När använder man detta?

När täljaren är en summa eller differens, t.ex. $1-x$ , $3a+2$ , $m-n$ .
När du vill jämföra med svarsalternativ som är skrivna som en skillnad av två bråk.

Förkorta rätt (och varför villkoret behövs)

Efter att du delat upp bråket kommer du ofta till uttryck som

\frac{x}{xy}

Då kan du förkorta bort faktorn $x$ (samma faktor i täljare och nämnare):

\frac{x}{xy} = \frac{1}{y}

Detta är bara tillåtet om den faktor du förkortar med inte är noll. Därför anges ofta villkor som $xy \neq 0$ (vilket innebär att både $x \neq 0$ och $y \neq 0$ ).

Vanliga varianter

$\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$
$\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}$ om $k \neq 0$
Skriv om så att du ser en gemensam faktor:

\frac{x+y}{xy} = \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = \frac{1}{y} + \frac{1}{x}

Formler att kunna

$\frac{a\pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}$
$\frac{ab}{ac} = \frac{b}{c}$ om $a \neq 0$
$xy \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ och $y \neq 0$

Tips och fallgropar

Dela upp täljaren först om den är en summa/differens: $\frac{1-x}{xy} = \frac{1}{xy} - \frac{x}{xy}$
Förkorta bara faktorer, inte termer. Du kan förkorta $\frac{x}{xy}$ men inte $\frac{1-x}{x}$ genom att ”ta bort $x$ ” från båda termerna.
Håll koll på minustecknet: $1-x$ är inte samma som $x-1$ . Om du byter ordning får du ett extra minus: $1-x = -(x-1)$ .
Respektera villkoren: om nämnaren kan bli noll måste det uteslutas (här $x \neq 0$ , $y \neq 0$ ).

Löst exempel

Skriv om ett algebraiskt bråk till två enklare bråk

Vad är $\frac{1-x}{xy}$ om $xy \neq 0$ ?

A. $\frac{1}{x} - \frac{1}{xy}$

B. $\frac{1}{y} - \frac{1}{xy}$

C. $\frac{1}{xy} - \frac{1}{x}$

D. $\frac{1}{xy} - \frac{1}{y}$

Identifiera strukturen

Täljaren är en differens: $1-x$ . När täljaren är en differens kan du dela upp bråket:

\frac{1-x}{xy} = \frac{1}{xy} - \frac{x}{xy}.

Varför? För att $\frac{a-b}{c} = \frac{a}{c} - \frac{b}{c}$ (distributiva lagen).

Förenkla det andra bråket genom förkortning

I $\frac{x}{xy}$ finns faktorn $x$ i både täljare och nämnare:

\frac{x}{xy} = \frac{1}{y}.

Varför är det okej? Villkoret $xy \neq 0$ innebär att $x \neq 0$ , så vi förkortar inte med noll.

Sätt ihop resultatet

Då blir uttrycket

\frac{1}{xy} - \frac{1}{y}.

Matcha med svarsalternativen

Detta är exakt alternativ D.

Svar:

$\frac{1-x}{xy} = \frac{1}{xy} - \frac{1}{y}$ (alternativ D).

Öva algebra på riktiga provfrågor

Genomgången ovan är gratis. Träna sedan på frågorna från publicerade högskoleprov, med facit och förklaringar.

Kom igång gratis